來(lái)源:量子位 | 公眾號(hào) QbitAI
西風(fēng) 發(fā)自 凹非寺
在《我的世界》里估算歐拉數(shù)e,誤差僅約0.00766%!
兩位數(shù)學(xué)博士“跨界”整了個(gè)大大大活兒——
用《我的世界》搞數(shù)學(xué)研究,通過(guò)游戲機(jī)制成功估算各種數(shù)學(xué)常數(shù)的值。
√2、π、歐拉數(shù)e、阿佩里常數(shù)ζ(3),難度逐級(jí)遞增,但都是他們的實(shí)驗(yàn)對(duì)象。
對(duì)于阿佩里常數(shù)ζ(3),用這兩位作者的話說(shuō),一般人可能見(jiàn)都沒(méi)見(jiàn)過(guò),但也能用《我的世界》近似算出值來(lái),而且誤差僅約為0.4%。
實(shí)驗(yàn)結(jié)合游戲機(jī)制用到了各種方法,比如近似π值時(shí),使用了蒙特卡洛積分法,借助游戲中的僵尸疣豬獸殺死史萊姆來(lái)完成。
兩位作者分別是來(lái)自自霍林斯大學(xué)、美國(guó)羅諾克大學(xué)的助理教授。
論文中,他們不僅介紹了每個(gè)常數(shù)的數(shù)學(xué)歷史背景,詳細(xì)說(shuō)明了如何在《我的世界》中設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)來(lái)近似計(jì)算這些值,甚至還提出了具體的改進(jìn)建議,為大伙兒留下了“課后作業(yè)”來(lái)挑戰(zhàn)。
作者強(qiáng)調(diào)這些實(shí)驗(yàn)的目的不是為了獲得最精確的近似值,而是為了激發(fā)大家從這項(xiàng)研究中找到靈感,用有趣的方式探討復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。
希望本文能夠展示一小部分?jǐn)?shù)學(xué)與《我的世界》結(jié)合的可能性,并激勵(lì)人們以有趣和引人入勝的方式探索復(fù)雜的數(shù)學(xué)主題。雖然我們選擇使用《我的世界》來(lái)近似無(wú)理數(shù),但我們相信還有許多其它環(huán)境適合進(jìn)行此類(lèi)實(shí)驗(yàn)。
所以,究竟是如何做到的?
用《我的世界》近似數(shù)學(xué)常數(shù)的值
在估算數(shù)學(xué)常數(shù)前,先來(lái)淺淺了解一下《我的世界》中將被用作“實(shí)驗(yàn)道具”的材料。
漏斗(Hopper):
如果一個(gè)玩家/動(dòng)物/怪物站在漏斗上方被殺死,那么漏斗會(huì)收集該生物掉落的物品。因此,漏斗可以用來(lái)記錄生物被殺死的位置。
除收集物品外,漏斗還具有另一個(gè)特性,它們可以以每秒2.5個(gè)物品的恒定速率釋放物品。漏斗釋放物品的能力可以開(kāi)啟或關(guān)閉。
由于漏斗以恒定速率釋放物品,它們可以用作計(jì)時(shí)器。例如,如果一個(gè)漏斗釋放了25個(gè)物品,那么我們知道漏斗釋放物品的時(shí)間在10秒到10.4秒之間。
當(dāng)然《我的世界》中有制作更精確計(jì)時(shí)器的方法,但對(duì)于該實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō),漏斗計(jì)時(shí)器夠用。
投擲器(dropper):
投擲器是一個(gè)可以投擲物品的方塊,可同時(shí)容納9種不同物品。
當(dāng)被激活時(shí),投擲器會(huì)隨機(jī)選擇其中的一個(gè)物品進(jìn)行投擲。因此,投擲器可以用作隨機(jī)化工具。例如,如果投擲器中有5種不同的物品,那么特定物品被投擲出去的概率是1/5。
偵測(cè)器(observer):
偵測(cè)器是一個(gè)方塊更新檢測(cè)器,可以檢測(cè)到它面對(duì)的方塊狀態(tài)是否發(fā)生變化。
一個(gè)方塊可能發(fā)生的變化包括作物生長(zhǎng)、冰融化、火勢(shì)蔓延……這些變化是隨機(jī)發(fā)生的,因此可以通過(guò)偵測(cè)器檢測(cè)這些變化來(lái)創(chuàng)建一個(gè)隨機(jī)化工具。
接下來(lái)就可以玩“數(shù)學(xué)游戲”啦~
PS:題目難度由簡(jiǎn)入難
√2
早在2000多年前,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用反證法證明了√2不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比,√2也成為了人們發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)無(wú)理數(shù)。
現(xiàn)在,√2也是該研究第一個(gè)要用《我的世界》估算的數(shù)學(xué)常數(shù)。
方法利用了45°-45°-90°直角三角形的邊長(zhǎng)比是1 : 1 : √2。
這樣的三角形在《我的世界》中很容易制作,因?yàn)椤段业氖澜纭分,放置任何方塊都必須放在網(wǎng)格上。
要近似計(jì)算√2的值,可以簡(jiǎn)單地分別測(cè)量玩家以恒定速度沿著一條直角邊和斜邊行走所需的時(shí)間,斜邊長(zhǎng)度是直角邊的√2倍,行走時(shí)間比率也應(yīng)該近似為√2。
如前所述,漏斗以恒定速率釋放物品,可以計(jì)算玩家行走期間所釋放的物品數(shù)量,以此來(lái)計(jì)時(shí)。
實(shí)驗(yàn)中,沿著斜邊行走完,漏斗釋放了57個(gè)物品,沿著一條直角邊行走完,漏斗釋放了41個(gè)物品。
所以得出:
√2保留到小數(shù)點(diǎn)后四位是√2=1.4142,所以近似值誤差為1.70%。
作者還表示這種方法還可以改進(jìn):
一個(gè)很明顯的改進(jìn)方法是構(gòu)建一個(gè)更大的三角形,近似值將更準(zhǔn)確。或者可以讓行走速度變慢,玩家可以在出發(fā)前喝下緩慢藥水。
以此類(lèi)推可以估算√5的值,但√7不行,7不能表示為兩個(gè)完全平方數(shù)的和。
這引出了一個(gè)問(wèn)題:哪些數(shù)字可以表示為兩個(gè)平方數(shù)的和?
作者認(rèn)為對(duì)于幾何學(xué)老師來(lái)說(shuō),可以使用這樣的實(shí)驗(yàn)向幾何學(xué)生介紹基本的數(shù)論。
下一個(gè)要估算的數(shù)學(xué)常數(shù)是——
1768年約翰·海因里希·朗伯(Johann Heinrich Lambert)證明π是無(wú)理數(shù)。1882年費(fèi)迪南德·馮·林德曼(Carl Louis Ferdinand von Lindemann)首次證明π是超越數(shù)。
希臘數(shù)學(xué)家阿基米德通過(guò)在圓內(nèi)外構(gòu)建正多邊形,為π的值找到了上下界。當(dāng)使用96邊形時(shí),阿基米德發(fā)現(xiàn)3.1408 <π<3.1429。< pan>
計(jì)算機(jī)的發(fā)展帶來(lái)了計(jì)算π值的不同方法。蒙特卡洛方法就是其中一類(lèi),通過(guò)評(píng)估多次隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果來(lái)近似值。
蒙特卡洛方法中的一種,蒙特卡洛積分,通過(guò)繪制一個(gè)內(nèi)切于正方形的單位圓,然后在正方形內(nèi)均勻隨機(jī)地散布點(diǎn)。
由于圓的面積是π,正方形的面積是4,圓內(nèi)點(diǎn)的數(shù)量與總點(diǎn)數(shù)的比將大致等于π/4。
《我的世界》中同樣可以重現(xiàn)蒙特卡洛積分法,近似計(jì)算π值。
《我的世界》中的每個(gè)方塊都放置在網(wǎng)格上,所以無(wú)法制作一個(gè)完美的圓形。然而,網(wǎng)上有許多工具可以在《我的世界》中近似劃定一個(gè)圓的邊界。
作者使用了一個(gè)《我的世界》圓形生成器,做了一個(gè)半徑為11的近似圓形:
接下來(lái)的問(wèn)題是找一種在《我的世界》中生成隨機(jī)點(diǎn)的方法。
為此,作者利用了一種叫做“史萊姆”的生物的行為。使用史萊姆是因?yàn)榕c其他生物不同,當(dāng)附近沒(méi)有玩家時(shí)史萊姆會(huì)繼續(xù)移動(dòng),并且它們會(huì)隨機(jī)改變方向。
而大多數(shù)其他生物有向東南方向行走的傾向,所以它們會(huì)聚集在正方形的東南角。
接著作者們讓另一種生物——僵尸疣豬獸(zoglin),殺死史萊姆,使用漏斗跟蹤史萊姆是否在圓內(nèi)被殺死。
在實(shí)驗(yàn)中,共有619個(gè)史萊姆被殺死,其中508個(gè)是在圓內(nèi)被殺死的。
所以得到了近似值:
近似誤差為4.49%。
因?yàn)?strong>蒙特卡洛方法通常收斂較慢,所以作者表示對(duì)這個(gè)相對(duì)較大的誤差并不驚訝。
如果童鞋們自己想嘗試的話,改進(jìn)方法:增大圓的大小和增加被殺死的史萊姆數(shù)量。
在這種蒙特卡洛方法中,圓的大小通常不會(huì)影響近似值的準(zhǔn)確性,但由于在《我的世界》中無(wú)法制作完美的圓形,增大圓的大小將提高近似值的準(zhǔn)確性。
同樣,用來(lái)近似計(jì)算π值的方法,也可以用來(lái)近似計(jì)算其它定積分的值。
例如,假設(shè)你想使用《我的世界》進(jìn)行蒙特卡洛積分以近似計(jì)算積分:
通過(guò)作者創(chuàng)建的Desmos頁(yè)面的幫助,可以繪制出y=f(x)曲線與x軸之間的區(qū)域。
回想一下,定積分∫ₐᵇf(x) dx的值是由曲線y=f(x)與x軸在x=a到x=b之間圍成的區(qū)域的凈面積。
因此,在《我的世界》中近似計(jì)算定積分的一個(gè)方法是,首先找出在x軸上方區(qū)域和x軸下方區(qū)域死亡的史萊姆數(shù)量之間的差異。
將這個(gè)差異乘以總面積再除以死亡的史萊姆總數(shù),就可以得到定積分值的近似值。在《我的世界》中,可以用下面這個(gè)函數(shù)近似曲線y=f(x):
這里⌊x⌉將x四舍五入到最近的整數(shù)。
作者們表示這可能是一個(gè)有趣的實(shí)驗(yàn),適用于正在學(xué)習(xí)積分微積分的學(xué)生。
歐拉數(shù)e
接下來(lái)繼續(xù)上難度——歐拉數(shù)e,歐拉數(shù)e的值保留到小數(shù)點(diǎn)后五位是e=2.71828。
大家可能記得e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),也是復(fù)合利息公式的一部分。它被定義為以下極限:
雖然以e為底的對(duì)數(shù)計(jì)算早在1618年就已經(jīng)開(kāi)始,但那時(shí)并沒(méi)有使用e這個(gè)符號(hào)。
所謂的e“發(fā)現(xiàn)”最早是由雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)在1638年研究連續(xù)復(fù)利時(shí)偶然發(fā)得出的,他嘗試計(jì)算上述極限,利用二項(xiàng)式定理證明了e的值在2和3之間,但當(dāng)時(shí)e還沒(méi)有一個(gè)具體的名字或更精確的近似值。
歐拉(Euler)最終將對(duì)數(shù)與e這個(gè)數(shù)聯(lián)系起來(lái),他計(jì)算了上述極限,并用符號(hào)e表示其值,1737年證明了e是無(wú)理數(shù)。到了1873年,查爾斯·埃爾米特(Charles Hermite)進(jìn)一步證明了e是超越數(shù)。
話說(shuō)回來(lái),在《我的世界》中近似e的值,要了解歐拉1748年提出的e的表達(dá)式:
現(xiàn)在考慮函數(shù)f(x)=eᕽ,這個(gè)函數(shù)可以用它的麥克勞林級(jí)數(shù)表示為:
注意,當(dāng)x=−1時(shí),得到到1/e的交錯(cuò)級(jí)數(shù)展開(kāi)式:
我們將看到,這個(gè)表達(dá)式的第n個(gè)部分和是一個(gè)特定計(jì)數(shù)問(wèn)題的解。
現(xiàn)在描述這個(gè)問(wèn)題,令:
定義:[n]的排列是[n]中元素的一個(gè)確定順序的排列。
[n]的排列可以看作數(shù)字1到n的線性排序。例如,[3]的排列包括123、132、213、231、312和321。[n]的排列總數(shù)是:
這個(gè)乘積傳統(tǒng)上用n!表示。
定義:一個(gè)錯(cuò)位排列是沒(méi)有固定點(diǎn)的[n]的排列。
換句話說(shuō),如果ω是[n]的一個(gè)排列,那么那么當(dāng)且僅當(dāng)
ω是一個(gè)錯(cuò)位排列。
例如,考慮[6]的以下排列:ω=324165。這不是一個(gè)錯(cuò)位排列,因?yàn)閿?shù)字2在第二個(gè)位置,即ω₂=2。
然而,排列ν=431562是一個(gè)錯(cuò)位排列,因?yàn)椋?/p>
我們用D(n)表示[n]的錯(cuò)位排列數(shù),可以證明:
比較等式(2)和(3),可以看到
給出了等式(2)的第n個(gè)部分和。
因此,可以看到1/e近似等于隨機(jī)排列是錯(cuò)位排列的概率。特別地:
了解了這些過(guò)后,在《我的世界》中如何近似計(jì)算?
兩位作者制造了一臺(tái)機(jī)器,這臺(tái)機(jī)器能:
生成一個(gè)排列;
檢查該排列是否為錯(cuò)排。
一旦機(jī)器被制造出來(lái),就讓它運(yùn)行多次,生成足夠大的樣本。
如前所述,投擲器可以用作隨機(jī)器。由于投擲器最多可以容納9種不同的物品,所以可以利用其隨機(jī)彈出機(jī)制來(lái)創(chuàng)建 [9]的排列。
投擲器中的每個(gè)格子對(duì)應(yīng)[9]中的一個(gè)數(shù)字。彈出的物品的順序可以被視為一個(gè)排列。而且在《我的世界》中是有方法可以自動(dòng)檢查投擲器彈出了哪個(gè)物品。
具體如何操作這里就不多贅述了。
因此,可以制造一臺(tái)機(jī)器來(lái)檢查所生成的排列是否為錯(cuò)排。這是通過(guò)檢查與某個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的格子是否在那個(gè)位置被彈出來(lái)實(shí)現(xiàn)的。
如果9個(gè)格子中的每一個(gè)都被彈出到了與它們編號(hào)不對(duì)應(yīng)的位置,那么這個(gè)排列就是一個(gè)錯(cuò)排。
作者在實(shí)驗(yàn)生成的排列中,錯(cuò)排比例大約是1/e。也就是說(shuō):
共生成了647個(gè)排列,其中238個(gè)是錯(cuò)排。所以e的近似值:
近似誤差大約是0.00766%,準(zhǔn)確度非常高了。
作者表示如果讓機(jī)器無(wú)限運(yùn)行,1/e的近似誤差將小于:
兩位作者同樣再次鼓勵(lì)大家自己嘗試一下,或許還能搞個(gè)新定義:
如果一個(gè)排列ω的條目交替上升和下降,那么稱(chēng)這個(gè)排列為交錯(cuò)排列,即ω1 <ω2> ω3< ….例如,排列1423是交錯(cuò)的,但排列1342不是,因?yàn)?omega;2≯ ω3。如果讓An表示[n]的交錯(cuò)排列數(shù),那么安德烈定理(André’s Theorem)表明:
這意味著你可以使用《我的世界》來(lái)近似計(jì)算sec(1)+tan(1)的值。
布置完“課后作業(yè)”,兩位助理教授還特意留下這么一句話:
如果你完成了這個(gè)實(shí)驗(yàn),請(qǐng)聯(lián)系作者并告訴我們你的結(jié)果。
還沒(méi)完,還有一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù),而且可能是你以前未曾見(jiàn)過(guò)的。
用作者的話說(shuō),即使你遇到過(guò)它,可能也不知道它有一個(gè)名字——
阿佩里常數(shù)ζ(3)
ζ(3),被定義為正立方數(shù)倒數(shù)的和,即:
之所以被記為ζ(3),是因?yàn)樗窃趕=3時(shí)黎曼ζ函數(shù)(Riemann zeta function)的值。
一般來(lái)說(shuō),黎曼ζ函數(shù)定義為:
歐拉證明了黎曼ζ函數(shù)的以下乘積公式:
阿佩里常數(shù)的值保留到小數(shù)點(diǎn)后五位是ζ(3) = 1.20205。
1979年,羅杰·阿佩里(Roger Apéry)證明了ζ(3)是無(wú)理數(shù)。這個(gè)數(shù)字是否是超越數(shù)目前仍然是一個(gè)未解決的問(wèn)題。
阿佩里常數(shù)有各種級(jí)數(shù)和積分的表示形式。其中一些表示形式非常復(fù)雜。
然而,作者表示阿佩里常數(shù)的值可以通過(guò)概率方法確定,阿佩里常數(shù)的倒數(shù)是隨機(jī)選取的任意三個(gè)正整數(shù)互質(zhì)的概率。
為什么:
要使三個(gè)正整數(shù)互質(zhì),就不能有任何質(zhì)數(shù)同時(shí)整除這三個(gè)數(shù)。例如,6、9、21不是互質(zhì)的,因?yàn)樗鼈兌伎梢员?整除。對(duì)于一個(gè)質(zhì)數(shù)p,p整除一個(gè)隨機(jī)整數(shù)的概率是1/p。因此,p同時(shí)整除這三個(gè)數(shù)字的概率是1/p³。
這意味著至少有一個(gè)數(shù)字不被p整除的概率是:
讓P₃表示三個(gè)隨機(jī)選定的正整數(shù)互質(zhì)的概率,由此得出:
比較等式(4)和(5),可以看出:
OK,那在《我的世界》中如何近似計(jì)算阿佩里常數(shù)。
作者們反復(fù)生成了三個(gè)隨機(jī)數(shù)的集合,稱(chēng)為三元組,并手動(dòng)檢查這些數(shù)字是否互質(zhì)。互質(zhì)的三元組的比例將大約等于 ζ(3) 的倒數(shù)。
如前文所述,《我的世界》中偵測(cè)器能夠檢測(cè)到它面對(duì)的方塊狀態(tài)的變化。
而《我的世界》中許多方塊會(huì)在隨機(jī)間隔改變狀態(tài)。通常,每0.05秒,游戲隨機(jī)選擇一個(gè)16×16×16的立方體中的3個(gè)方塊來(lái)改變狀態(tài)。如果選定的方塊有改變狀態(tài)的能力,它們將以一定的預(yù)定概率改變狀態(tài)。
為了生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)三元組,作者安排了三個(gè)偵測(cè)器,每個(gè)偵測(cè)器面對(duì)自己的竹子植物,還使用了一個(gè)漏斗計(jì)時(shí)器來(lái)記錄每個(gè)竹子植物改變狀態(tài)所需的時(shí)間。
belike:
需要注意的是,生成的隨機(jī)數(shù)并不遵循均勻分布,而是遵循負(fù)二項(xiàng)分布。
在實(shí)驗(yàn)中,作者收集了70個(gè)隨機(jī)數(shù)三元組,發(fā)現(xiàn)58個(gè)三元組是互質(zhì)的。
于是得到ζ(3)的近似值:
近似誤差約為0.4%。
作者補(bǔ)充道,這種方法生成的數(shù)字范圍在最小3和最大838之間,在獲取廣泛多樣的數(shù)字方面比預(yù)期做得更好。
最后來(lái)看“課后作業(yè)”。
回想一下,三個(gè)隨機(jī)選取的正整數(shù)互質(zhì)的概率是 ζ(3)⁻¹。
一般來(lái)說(shuō),Pm,即隨機(jī)均勻選擇的m個(gè)正整數(shù)互質(zhì)的概率,是ζ(m)⁻¹。
這意味著你可以使用上述方法來(lái)近似各種m值的ζ(m)。特別是,你可以近似π的任何偶數(shù)次冪的值,因?yàn)?zeta;(2k)總是π的2k次方的有理倍數(shù)。
例如,由于ζ(2)=π²/6,因此:
這意味著可以通過(guò)生成一對(duì)數(shù)字并檢查它們是否互質(zhì)來(lái)近似π²的值。
對(duì)于那些尋求挑戰(zhàn)的人,還可嘗試通過(guò)在《我的世界》中制造一個(gè)機(jī)器來(lái)自動(dòng)化檢查過(guò)程,該機(jī)器可以找到兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)。如果最大公約數(shù)是1,那么這些數(shù)字就是互質(zhì)的。
作者表示:
制造這臺(tái)機(jī)器可能會(huì)很困難,但并非不可能在《我的世界》中完成。
好嘛,有哪位朋友挑戰(zhàn)一下下~
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